Московский экономический журнал 11/2019

image_pdfimage_print

УДК330.42

DOI 10.24411/2413-046Х-2019-10126

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ЗАГРЯЗНЕНИЯ СТОЧНЫХ ВОД

MATHEMATICAL MODELING OF THE ECOLOGIAL PROBLEM OF WASTE WATER CONTAMINATION

Пепеляева Татьяна Федоровна, кандидат технических наук, доцент, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь

Иванкин Валерий Юрьевич, кандидат технических наук, доцент, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь

Воробьева Елена Юрьевна, старший преподаватель,Пермский национальный исследовательский политехнческий университет, г. Пермь

Pepelyaeva T.F., tania4072@gmail.com

Ivankin V.U., sweet4072@gmail.com

Vorobeva E.U., lena-vorobey@yandex.ru

Аннотация: В статье приведено решение задачи вариационного исчисления экологической модели максимума функционала от функции полезности с учетом загрязнения окружающей среды. Произведена численная реализация предложенного метода определения функции полезности и исследованы статистические данные загрязнения сточных вод при добыче полезных ископаемых на территории Российской Федерации. Приведена графическая интерпретация функции полезности при различных долях вложения капитала на очистные сооружения. Произведен анализ зависимости капитала и объема загрязнения от доли средств, выделяемых предприятиями на очистные сооружения, и предложены рекомендации по оптимальным вложениям средств на очистные сооружения.

Summary: The article presents the solution of the problem of the variational calculus of the ecological model of the maximum of the functional of the utility function, taking into account environmental pollution. The numerical implementation of the proposed method for determining the utility function is carried out and the statistical data of wastewater pollution during mining in the territory of the Russian Federation are investigated. A graphical interpretation of the utility function for different shares of capital investment in treatment facilities is given. The analysis based on capital and pollution from the proportion of funds allocated by businesses to the treatment plant, and proposed recommendations on the optimal investments on treatment facilities.

Ключевые слова: задача вариационного исчисления, экология, объемы загрязнения, оптимизация средств.

Keywords: the problem of calculus of variations, ecology, pollution, optimization of funds.

Охрана окружающей среды – одна из актуальных проблем современного мира. Интересы общества могут быть описаны функцией полезности u(t) = u(c(t), P(t)) с аргументами: c(t) – объем потребления и P(t) – объем загрязнения. Задача математического моделирования состоит в нахождении интегральной дисконтированной полезности потребления [1]-[2], с учетом отчислений на охрану окружающей среды, которая доставляет максимум функционалу:

Модель (2) описывает зависимость объемов потребления, капитала  и загрязнения.

– доли выпуска,  предназначенные для потребления и уменьшения загрязнения соответственно

— доля объема загрязнения от выпуска;

— темп амортизации;

— естественная убыль отходов в каждый момент времени;

— производственная функция Кобба-Дугласа с фондами K и затратами труда L;

K(t) и P(t) – объем капитала и объем загрязнения соответственно, которые зависят от времени;

c(t) объем потребления;

— const.

Функционал (1) с учетом функции потребления c(t) приобретает вид:

Для доказательства существования максимума функционала рассматривалась разность I(K+h) – I(K), где h(t) – малое возмущение.

Доказано, что разность

Пусть функция u(t) такая, что выполняется равенство (5), с учетом того, что первое слагаемое выражения (4) обнуляется по основной лемме вариационного исчисления.

Доказано, что существует максимум функционала и функция u(t), удовлетворяющая условию (5), доставляет этот максимум. Решено дифференциальное уравнение (5) и получен вид функции полезности:

Применим математическую модель к анализу загрязнения сточных вод на территории РФ при добыче полезных ископаемых за 12 месяцев 2016г. [3]. Построим производственную функцию Кобба-Дугласа в виде:

и с ее помощью проанализируем экономические показатели производства добычи полезных ископаемых.

Параметры a0, a1, a2 производственной функции Кобба-Дугласа (7) рассчитаны по методу наименьших квадратов. Параметр a0 — коэффициент нейтрального технического процесса, a1 и a2 — коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и ресурса труда соответственно. Линерализуем степенную функцию Кобба-Дугласа и получим:

Исходные данные приведены в таблице 1.

Вычисляя параметры производственной функции, получаем:

Произведено сравнение исходных данных функции F и расчетных.

По критерию Фишера Fрасч>Fтабл, т.е. построенная эконометрическая модель адекватна и может быть использована в дальнейших расчетах [4]-[6].

Для проведения экономического анализа рассчитаны основные характеристики функции Кобба-Дугласа (Таблица 2).

Здесь AK — средняя эффективность капитала;

AL — средняя эффективность труда;

MK — предельная норма фондоотдачи;

ML — предельная норма ресурса;

RKL — предельная норма замещения ресурсов K и L.

Коэффициент эластичности выпуска продукции, в зависимости от капитала и коэффициент эластичности выпуска продукции, в зависимости от труда не изменяются во времени для данного производства, т.е. являются постоянными. Таким образом, можно сделать следующие выводы:

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1) Так как a1 + a2 >1, то с расширением масштабов производства добычи полезных ископаемых, средние затраты ресурсов в расчете на единицу продукции увеличиваются. Подразумевается, что производство развивается интенсивно.

2) Модель прошла оценку адекватности. Коэффициент детерминации равен 0,95. Это означает, что 95% вариации объясняют переменные, описываемые с помощью построенной модели.

Будем предполагать, что параметры найденной производственной функции:

стабильны на некотором временном промежутке и характерны для данной отрасли, т. е. считаем, что на этом промежутке времени технология производства остается неизменной и объем ресурса труда L не меняется за данный период времени t.

Используя статистические данные, оценим параметры и коэффициенты данной системы:

Математическая модель загрязнения сточных вод при добыче полезных ископаемых примет вид:

Оценка параметра:

Объем капитала и объем загрязнения:

Произвольные постоянные C1 и C2 определяются из начальных условий. Результаты численной реализации модели (8) приведены в таблице 3.

Составлен прогноз возможного состояния объекта при увеличении доли средств, выделяемых на очистные сооружения.

Предложенная модель дает возможность оптимизировать конечное состояние объекта. Актуально рассмотреть возможные варианты изменения объема капитала и загрязнения при увеличении доли

— средств, вложенных в очистные сооружения. Для расчета были выбраны следующие значения

при каждом из которых решена система (8).

Результаты расчетов приведены в таблице 4.

Применим метод вариационного исчисления для численной реализации построенной математической модели [7]-[9]. Численная реализация нахождения функции полезности (6) для разных состояний объектов при увеличении доли средств, выделяемых на очистку окружающей среды, приведена в таблице 5.

На рисунке 1 изображена функция полезности при различных значениях

— доли средств, выделяемых на очистные сооружения

Таким образом, решена задача вариационного исчисления на нахождение максимума функционала функции полезности, с учетом разных значений доли средств, выделяемых на очистные сооружения. Можно сделать следующие выводы:

1) Для всех

функция полезности «выпуклая вверх», а это объясняет неприятие риска. То есть функция отражает «чувствительность» владельцев предприятий к возможным потерям;

2) Анализ поведения функции полезности при увеличении значений

(см. рис. 1) позволяет сделать вывод о том, что значение

= 0,12 является оптимальным, так как дальнейшее увеличение доли вложенных средств мало влияет на изменение полезности. Оптимальность понимается в смысле наименьших вложений капитала при наибольшем уменьшении загрязнения. Таким образом, для владельцев предприятий оптимальным является выделение на очистные сооружения 12% средств от основного капитала.

Список литературы

  1. Математическая модель загрязнения окружающей среды с производственной функцией./ Е. Ю. Воробьева, Агаркова Н. И. // Наука и бизнес: Пути развития. Математические и инструментальные методы в экономике. Москва. — 2016 .— № 7 (61) .— С. 53-59.
  2. Вариационный метод решения задачи экономико-экологического моделирования/ Е. Ю. Воробьева, Т. Ф. Пепеляева, В. Ю. Иванкин // Наука сегодня: история и современность: материалы междунар. научн.-практ. конф., [г. Вологда], 31 окт. 2018 г. В 2 ч. ч. 2./ Научн. центр Диспут. – Вологда: Маркет, 2018. – С. 17-18.
  3. Российский статистический ежегодник    [Электронный ресурс]: Федеральная служба государственной статистики: Москва, 2017г. URLhttp://www.gks.ru
  4. Руховец Л.А., Филатов Н.Н. Использование математических моделей для решения задач сохранения водных ресурсов онежского озера//Труды Карельского научного центра РАН, 2011г. — №4, С. 77-87.
  5. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Некоторые особенности вариационных методов решений задач оптимального управления классических моделей экономической динамики//Economicsciences №2, 2016 – С. 146-151.
  6. Поносов А.А. Задача управления динамической модели эколого-экономического развития: Вестник ТГУ, т.18, вып.5, 2013.
  7. Чеботарева Э.В. Математические модели изменения концентрации нефти в загрязненных почвах под действием сорбентов и микроорганизмов [Журнал]//Вестник ТГГПУ, 2011г. —  №4(26)
  8.  Кондраков О.В.,  Крючин О.В., Волосатов М.Ю., Клетров С.Ю. Моделирование распространения загрязняющих веществ в атмосфере на основании модели «факела» [Журнал]// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2011г. — №1(16), С.196-198.
  9. Гриванова С.М., Гриванов И.Ю. Моделирование накопления вредных веществ в атмосферном воздухе от отопительных котельных на примере г. Владивостока// Теория новых возможностей. Вестник Владивостокского государственного университета экономики и сервиса, 2012г. — №3, С. 207-214.