Московский экономический журнал 2/2017

DOI: 10.24411/2413-046X-2017-10003

Кодиров Акмалджон Ахмадуллоевич.

Аспирант 3 курса кафедры «Геодезии и геоинформатики» ФГБОУ ВО «Государственный университет по землеустройству».

E-mail: akmal_geolog@mail.ru

«Оперативный способ определения параметров круговых кривых при изысканиях горных автодорог»

Аннотация:  Рассматривается технология трассирования горных автодорог, исключающая измерение углов поворотов трассы, заменяя эту операцию построением равнобедренного линейно – углового треугольника. Это значительно облегчает выполнение полевых изысканий и вынос в натуру проектов горных автодорог, сокращает объём полевых работ и обеспечивает лучшие условия для соблюдения техники безопасности в работе изыскателей.

Abstract: The technology of tracing of mountain roads is considered, which excludes the measurement of corners of turns of a route, replacing this operation by construction of an isosceles linear — angled triangle. It makes much easier to carry out field surveys and take out the projects of mountain roads, reducing the volume of field work and provide better conditions for observing safety measures in the work of prospectors.

Ключевые слова: Изыскания, трассирование, вынос в натуру, горные автодороги, параметры круговых кривых, треугольник.

Keywords: Research, tracing, removal to nature, mountain roads, parameters of circular curves, triangle.

При полевом трассировании автодорог нередки случаи отступления от проекта, порой значительные, и чаще всего, – в местах изменения направления трассы, т.е. на поворотах. В горах вершина Е угла поворота φ (рис. 1) часто бывает недоступна, например, оказывается над пропастью.

В этой ситуации мы предлагаем поступать следующим образом: Изыскатель, сообразуясь с рельефом местности, визуально намечает на склоне скалы оптимальное положение главных точек кривой: её середину С, начало А и конец В (прямую видимость между точками А и В загораживает склон скалы).

Рис. 1. Главные точки поворота автодороги.

Теперь состоит задача определения основных параметров выбранного таким образом поворота трассы: длину круговой кривой  К, её радиуса R и центрального угола φ (угол поворота).

Эти параметры связаны между собой известной формулой [3]:

Рис.2.  Схема к расчёту параметров кривой горной автодороги.

Для определения угла φ воспользуемся известной теоремой: вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу [1]. Следовательно, острый угол β прямоугольного треугольника ACD (рис. 2), опирающийся на дугу АС, в два раза меньше половинного центрального угла кривой φ, т.е.

Однако, измерить угол β в данной ситуации, при условиях скалистого рельефа, так же не представляется возможным, равно как и измерить стрелку прогиба f.  Но, вполне очевидно, что угол β является углом при основании равнобедренного треугольника АСВ, в котором угол γ в точке С может быть легко измерен. Следовательно:  

Формула (6) в учебной литературе выводится из чисто геометрических построений, а именно – по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BDO. Ниже покажем оригинальный вывод этой формулы, приведенный в работе [3]. Он базируется на основе мало известного специалистам такого математического понятия «степень точки»: любая точка внутри окружности делит все проведённые через неё внутренние прямые (хорды и диаметры) на два отрезка. Произведение длин этих отрезков является константой (для данной окружности) и  называется в математике «степенью точки »  (обозначается символом  р)  [2]. 

На рис. 2 видно, что через точку D проходит две прямые: стягивающая кривую хорда АВ и перпендикулярный ей диаметр окружности 2R. Хорду АВ точка D делит на два равных отрезка  b:2, следовательно р = b²:4.  Диаметр делится точкой D на два отрезка : f и (2R – f), так что р = f (2R – f). Таким образом, имеем:

откуда и получаем формулу (6).

Вычислив по формуле (6) радиус R, по формуле (1) находим длину кривой K. Для контроля вычислений длины K воспользуемся мало известной геодезистам формула Гюйгенса [1]:  

Известно, что формула (8) обеспечивает относительную погрешность определения длины K при угле поворота φ=60° равную 0,5%. С уменьшением угла относительная точность резко повышается.  Так, при угле φ=45° она составляет уже 0,02% [2].

Предложенная выше технология трассирования горных автодорог, исключающая измерение углов поворотов трассы, заменяющая эту операцию построением равнобедренного линейно – углового треугольника, значительно облегчает выполнение полевых изысканий и вынос в натуру проектов горных автодорог, сокращает объём полевых работ и, что немало важно, обеспечивает лучшие условия для соблюдения техники безопасности в работе изыскателей.  

Оценку точности определения параметров кривой по предложенному выше алгоритму можно получить по известным правилам теории ошибок измерении, последовательно дифференцируя функции (4), (5), (6), (1) и переходя затем от дифференциальных уравнений к уравнениям погрешностей.  Их составление и соответствующий анализ является предметом отдельный самостоятельной статьи.

Литература

• М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. Гос. изд физ.матем.лит. М.1958г. с 783.
• М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. Наука. М.1964г. с 420.
• Зайцев А.К. Степень точки. Межд. электронный журнал «  № 3-04  » М. 2011г. С 17-21.