Московский экономический журнал 4/2020

image_pdfimage_print

УДК 519.86

DOI 10.24411/2413-046Х-2020-10257

К ПРОБЛЕМЕ ОПТИМИЗАЦИИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ

ENTERPRISE ACTIVITY OPTIMIZATION CHALLENGE

Севодин Михаил Алексеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики Пермского национального исследовательского политехнического университета, г. Пермь

Sevodin M.A., m.sevodin@mail.ru

Аннотация. В работе изучаются возможности применения оптимизационных схем теории портфеля ценных бумаг. Последствия финансовых решений часто характеризуются неопределенностями. Они могут повлечь финансовые потери (или принести недостаточно высокие доходы) по сравнению с прогнозируемым вариантом. Это обстоятельство делает необходимым строгое обоснование таких решений с помощью, испытанных в условиях развитых финансовых рынков, технологий.  В работе рассматриваются принципы построения оптимального портфеля. Эти принципы адаптируются к управлению деятельностью «многопродуктового» предприятия. В качестве базовой модели финансовых рынков берется известная модель EGP. Модель модифицируется введением в рассмотрение функции издержек производства. Она берется достаточно общего вида. В заключении работы дана практическая иллюстрация иллюстрация модели.

Summary. This paper studies the possibilities of using optimization schemes in portfolio theory. The uncertainty of the future consequences of financial decisions that may result in a financial loss (or bring enough high incomes) compared with the projected goal, requires a serious study of such solutions using technologies proven in developed financial markets. The article contains principles of the optimal portfolio description, the compilation is based on EGP-model adapted to the management of the activities of the “multiproduct” enterprise. 

The model is optimized by tacking into consideration quite general cost production function.

The practical illustration of the model usage is given in the article’s conclusion.

Ключевые слова: доходность, издержки, деятельность предприятия, оптимизация.

Keywords: profitability, costs, enterprise operation, optimization.

1. Введение. Одной из ключевых проблем деятельности многопродуктового предприятия является увеличение продаж за счет выбора ассортимента выпуска продукции.   Здесь ключевым моментом для современных предприятий, выпускающих многопрофильную продукцию, следует считать оптимизацию деятельности предприятия за счет выбора пропорций выпускаемой продукции. Ввиду того, что на таких  предприятиях очень широкий спектр профильной продукции, причем каждая позиция имеет свои индивидуальные характеристики, довольно сложно систематизировать и оптимизировать состав продукции. Так же существует множество различных ограничений, описанных условиями хранения, способами доставки сырья для изготовления товаров и т.д. Несмотря на это каждому виду товаров можно присвоить свои определенные уровни доходности и издержек. Этот момент является принципиальным при изучении названной проблемы.

Основная цель  работы – найти метод для оптимизации деятельности предприятия, используя разумную комбинацию долей представляемого ассортимента. В первой части работы моделируется деятельность «многопродуктового» предприятия. В основу выбора структуры производимой продукции предлагается взять EGP-модель из теории оптимального портфеля ценных бумаг [1-3], смысл которой заключается в нахождении максимального значения соотношения доходности к риску при выборе состава выпускаемых товаров. Заметим, что без проведения операции оптимизации, нельзя найти такие выгодные ассортиментные единицы, которые отвечают на вопрос о наиболее эффективной работе предприятия [4].  В работе продолжаются исследования, начатые [5]. По сравнению с [5] берется более общая функция издержек. Предлагаемая модель привлекательна еще и тем, что позволяет использовать гибкую систему ограничений, которые можно дополнять в процессе её решения, сюда можно включить всевозможные условия, принципы, по которым работает предприятие. В заключении статьи рассматривается конкретный пример применения предложенной методики. Заметим, что без проведения операции оптимизации, нельзя найти такие выгодные ассортиментные единицы, которые отвечают на вопрос о наиболее эффективной работе предприятия.

2. Модель оптимизации деятельности предприятия. Рассмотрим экономическую деятельность предприятия, связанную с производством товаров. Количество товара каждого вида измеряется неотрицательным действительным числом, так что каждый вектор x=(x1x2,…,xn) соответствует набору товаров i в количестве xi. Будем считать, что само предприятие не оказывает влияния на цены, уверено в возможности реализации всей продукции и стремится оптимизировать свою деятельность за счет выбора структуры выпускаемой продукции. Под структурой выпускаемой продукции понимается соотношение долей k1,k2,…,kn товаров x1,x2,…,xn  в общем объеме выпуска. Далее выпускаемые товары будут рассматриваться как ценные бумаги.

Используя теорию эффективных портфелей ценных бумаг, решим  задачу о рассредоточении капитала по различным видам товаров (ценных бумаг).

Определим доходность Zit товара xi, i=1,…,n в момент времени t, t=1,…,T, Т – объем выборки (число наблюдений), по формуле

Здесь

Sit  – цена единицы i-го товара в момент времени t, Cit – издержки производства типа l в момент времени t (цена затратной части l), fil(k) – коэффициент, характеризующий долю издержек производства типа l, затраченных на единицу i-го товара. Будем считать, что fil(k) зависит от вектора k=(k1,k2,…,kn), а Rit  и Qit  – независимые случайные величины.

Заметим, что

Тогда доходность производства в момент времени t

Математическое ожидание доходности производства также является взвешенной средней ожидаемых доходностей отдельных товаров [6]:

где

Рискованность данного производства оценим стандартным отклонением

вычисляемым на основе дисперсии его доходности

– дисперсия изменения цены товара i

– ковариация между изменением цены товара i и  j

– дисперсия изменения цены затрат l

– ковариация между изменением цены затрат l и p

Приведенные здесь формулы говорят о возможности использования для оптимизации деятельности предприятия теории портфеля ценных бумаг [1]. Пусть норма доходов ЦБ с фиксированным процентом составляет R0. Для этих бумаг риск равен нулю, т.е.

Инвестируя капитал в ЦБ, подверженные рыночным колебаниям, инвестор желает получить наилучшее соотношение между дополнительной прибылью и возрастанием риска. Отложим на графике в пространстве

точку, характеризующую ЦБ с фиксированным доходом. Это будет R0 на оси ординат (см. рис. 1).

Ясно, что наилучшее соотношение между приростом доходности и возрастанием риска обеспечивает ПЦБ, представленный на графике точкой А, через которую проходит касательная к линии эффективных портфелей, начинающаяся в R0. Следовательно, оптимальной структурой ПЦБ будет та, которая соответствует точке А. Ее можно найти с помощью максимизации функции

при условии, что

Запишем R0 как

получим, что требуется найти коэффициенты ki, максимизирующие функцию

Будем считать функции fil(k), i=1,…,n, l=1,…,m дифференцируемыми. Приравняем первые производные функции F по искомым параметрам нулю. Получим систему из n уравнений

где

Умножив левую и правую части последнего равенства на A1/2, получим

В (4) записана система n одновременных неоднородных уравнений для s=1,…,n. Далее, накладывая дополнительные требования на функцию fil(k), исследуем полученную систему (4) и найдем оптимальное решение k=(k1,k2,…,kn). В частности, если положить

l=1,…,m, то k=(k1,k2,…,kn) находится с помощью линейной системы

где zs и ks связаны соотношением

откуда

Таким образом, выражение (5) определяет оптимальную структуру выпускаемой продукции предприятия, учитывая издержки.

3.      Пример: деятельность хлебозавода с учетом затрат производства. В данной части работы рассмотрим деятельность производственного предприятия, на примере выпуска хлебобулочных изделий, учитывая при этом затраты на производство продукции.

Объектом исследования работы является предприятие Пермского края, выпускающее несколько видов хлебобулочных изделий: хлеб белый (ХБ), батон нарезной (БН), хлеб дарницкий (ХД), хлеб сельский (ХС), муку пшеничную (МП), муку ржаную (МР). Данные о потребительских ценах на хлебобулочные изделия рассмотрим в период с января 2016 года по март 2018 года.

Воспользуемся схемой Марковица [1].

Используя данные, рассчитаем средние доходности отдельных товаров, дисперсии доходности и стандартные отклонения иковариации по рассмотренным ранее формулам (табл. 1-5).

Доходность производства

определим по формуле (1), рискованность данного производства оценим стандартным отклонением

вычисляемым на основе дисперсии его доходности по формуле (2).

Наилучшее соотношение между приростом доходности и возрастанием риска можно найти с помощью максимизации функции

где R0 соответствует тем

для которых

Будем считать функции

дифференцируемыми. Приравняем первые производные функции F по искомым параметрам нулю. Получим систему из четырех уравнений вида (4).

Накладываем дополнительные требования на функцию fil(k):

и оптимальное решение k=(k1,k2,k3,k4) находится с помощью линейной системы и соотношений вида (5).

Меняя фиксированный процент R0, решим полученные системы уравнений, получим набор оптимальных планов k=( k1,k2,k3,k4), учитывая соотношение

вычислим доходность

и риск

для каждого полученного портфеля продуктов.

Строим эффективный фронт для рассматриваемого предприятия на плоскости

эффективный фронт является кривой, выпуклой вверх.

С помощью эффективного фронта (рис.2), легко определить уровень доходности производства при заданном риске либо уровень риска при заданной доходности. В нашем случае, при доходности производства

оптимальный план производства равен k=(0.09, 0.83, 0.08, 0.00), а риск при этом равен

Литература

  1. Шведов А.С. Теория эффективного портфеля ценных бумаг//М.: ГУ ВШЭ,1999.
  2. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг// М.:Филинъ, 1998.
  3. Меньшиков И.С.  Финансовый анализ ценных бумаг// М.: Финансы и статистика, 1998.
  4. EltonE.J., GruberM.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. N.Y.: John Wiley and Sons, 1987.
  5. Севодин М.А., Петров А.Д. Оптимизация деятельности  предприятия.//Фундаментальные исследования. 2016. №1.С.67-71.
  6. Лукашин Ю.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг. // Экономика и математические методы.1995. Том 31.  Вып. 1. С.138-150.

References

1.      Shvedov A.S.(1999). Teoriya effektivnyih portfeley tsennyih bumag. [Theory of Effective Portfolios] -M.: GU VShE.

2.      Kasimov Yu.F. (1998). Osnovyi teorii optimalnogo portfelya tsennyih bumag [Fundamentals of the optimal portfolio theory ] M.:Filin’.

3.Menshikov I.S. (1998) Finansovyiy analiz tsennyih bumag[ Financial analysis of securities] M.: Finansyi i statistika.

4. EltonE.J., GruberM.J.(1987) Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. N.Y.: John Wiley and Sons.

5.       Sevodin M.A., Petrov A.D.(2016). Optimizatsiya  dejatelnosti  pedpriyatiya [Optimization of the activities of pedagogy] Vundametalnie issle dovaniya. 2016. №1.S.67-71.

6.      Lukashin Yu.P. (1995). Optimizatsiya strukturyi portfelya tsennyih bumag [Securities portfolio structure optimization]   Ekonomika i matematicheskie metodyi.  Tom 31.  Vyip. 1. S.138-150.