Московский экономический журнал 9/2021

image_pdfimage_print

Научная статья

Original article

УДК 519.86

doi: 10.24412/2413-046Х-2021-10516

О ВЛИЯНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ОЦЕНКУ ИНВЕСТИЦИОННОГО РИСКА

ON THE INFLUENCE OF MATHEMATICAL MODELING ON THE ASSESSMENT OF INVESTMENT RISK

Севодин Михаил Алексеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, ФГБОУ ВО Пермский национальный исследовательский политехнический университет, E-mail: m.sevodin@mail.ru

Соколов Владимир Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, ФГБОУ ВО Пермский национальный исследовательский политехнический университет, E-mail: sokolov,pstu@gmail.com

Sevodin Michail Alekseevich, PhD of Physico-mathematical Sciences, Associate-Professor of the Department of Applied Matthematics, the Perm national research polytechnical university, Perm, E-mail: m.sevodin@mail.ru

Sokolov Vladimir Aleksandrovich, PhD of Physico-mathematical Sciences, Associate-Professor of the Department of Applied Matthematics, the Perm national research polytechnical university, Perm, E-mail: sokolov,pstu@gmail.com

Аннотация. Изучены ситуации, в которых экономические индикаторы сложных систем являются взаимозависимыми величинами и моделируются системой одновременных эконометрических уравнений. Установлено, что при использовании таких моделей возможно формирование ошибочного вывода о состоянии экономической системы. Это связано с выдаваемой моделью неправильной информацией  о нахождении параметров системы в допустимой области или вне ее. Предложено решение проблемы определения границ указанных множеств. Построены формулы, с помощью которых можно определить вероятность принятия ошибочного решения в таких ситуациях. Результаты статьи проиллюстрированы на примере модели фирмы, описывающей зависимость между стоимостью основных фондов, количеством рабочих, инвестиционными вложениями и объемом продукции. Предложенный метод определения риска в данном примере дает представление о возможности принятия ошибочного решения.

Abstract. The paper studies the situations in which the economic indicators of complex systems are interdependent quantities and are modeled by a system of simultaneous econometric equations are studied. It is discovered that when using such models, it is possible to form a false conclusion about the state of the economic system. This is related to the wrong information provided by the model about the system parameters’ presence in the acceptable area or outside it. The study suggests s solution to the problem of determining the boundaries of these sets. Formulas, that can be used to determine the probability of making an erroneous decision in such situations, are constructed. The results of the article are illustrated by the example of a company model describing the relationship between the cost of fixed assets, the number of workers, investment investments, and the volume of production. The proposed method of determining the risk in this example gives an idea of the possibility of making an erroneous decision.

Ключевые слова: cистемы одновременных уравнений, риски, допустимые состояния, опасные состояния, ложные оценки

Keywords: systems of simultaneous equations, risks, acceptable state, dangerous situations, false estimates

Введение. На сегодняшний день науки о рисках становятся одними из ведущих. Причина этого заключается в устойчивом росте многообразия и масштабов проявления риска и связанных с ним проблем, повышении в процессе социально-экономического развития чувствительности человека и созданных им организаций уже не только к массовым, но также и редким негативным явлениям, в том числе непредсказуемым и непрогнозируемым критическим ситуациям. Таким образом, проблемы рисков являются довольно актуальными, поскольку риск существенным образом влияет на решение современных экономических и социальных задач.

Количественные характеристики рисков, очевидно, зависят от точности модельных расчетов, описывающих изучаемые экономические процессы. При этом всегда существует случайная ошибка измерения процессов, обусловленная невозможностью учета в модели влияний, воздействий, незначимых с точки зрения исследователя факторов. Поэтому, моделируя различные индикаторы и риски состояния экономических систем, нужно помнить об этом и вносить необходимые корректировки в тенденции развития наблюдаемого процесса. Указанные здесь проблемы, как правило, включают в себя и задачи определения границ множеств, соответствующих допустимым значениям характеристик. Обычно такие множества описываются с помощью определения приемлемой в рамках исследуемой задачи вероятности ошибки (риска) и характеризуются невозможностью  ошибочных выводов о состоянии системы.

В полной мере сказанное относится и к различным инвестиционным процессам. При выборе из способов и методов получения оценок инвестиционных проектов задача заключается в том, чтобы провести расчеты, позволяющие при поиске инвестиционного решения учитывать и случаи ненадежных данных. Растущая степень взаимосвязей в экономике вызывает все большую необходимость математического моделирования при изучении инвестиционных процессов. Здесь уже недостаточно, как правило, использования одного функционала, приходится привлекать к исследованиям системы эконометрических уравнений. Особенно эффективны при этом оказались так называемые системы одновременных уравнений, где моделируемые переменные зависят друг от друга. И опять подчеркнем следующее. Факторы, описывающие инвестиционные процессы, в силу очевидных причин, не могут быть точно описанными, природа взаимосвязи между факторами изменчива. Поэтому возникает необходимость пересчета характеристик модели даже при незначительных отклонениях от исходного множества значений переменных. Таким образом, каждым характеристикам факторов должны соответствовать некоторые множества, которые называют допустимыми. В силу неточности данных всегда существует вероятность (риск) выхода из допустимой области. Лицо, принимающее решение, должно учитывать эти риски.

Исследования в указанном направлении были начаты в связи с проблемой аэромеханического контроля [1]. Общие положения данной теории разработаны в [1], [2], [3]. Начало изучения возникновения опасных и допустимых состояний при моделировании связи между элементами систем регрессионными зависимостями было положено в работе [4] (см. также [5]). В ней для случая однофакторной регрессии описаны ситуации различной природы, влекущие ошибочные выводы о состоянии системы, и, следовательно, приводящие к риску.

В данной работе изучаются риски, характерные для моделирования общего случая взаимозависимых факторов. Показано, что в ходе моделирования возникают ситуации, для которых существуют вероятности неправильной оценки корректности использования построенной модели. В заключении работы рассматривается модель, описывающая зависимость между стоимостью основных фондов, количеством рабочих, инвестиционными вложениями и объемом продукции.

Таким образом, предложенный ранее метод количественной оценки риска, возникающего при моделировании с переменными, имеющими пороговые значения, распространен на случай моделей общего вида. Изучены случаи, в которых случайные ошибки, участвующие в анализе риска, имеют отличное от нормального распределения. Установлено, что предлагаемый метод подходит и для анализа таких ситуаций. Кроме того, показано, что при некоторых вариантах распределений ошибок возможно вычисление точного значения целевого интеграла. С другой стороны, естественно, имеются варианты, в которых необходимо использовать численные методы и с их помощью находить приблизительное значение риска.

Обобщим теперь проделанные выводы для поиска количественного выражения риска, возникающего при использовании систем уравнений.

Моделирование рисков в системах эконометрических моделей общего вида. При использовании эконометрических зависимостей нередко встречаются ситуации, в которых изучаемые характеристики имеют границы, выход за которые означает, что построенная модель не может быть использована. В этом случае решение применить данную модель будет неправильным. Также неправильным решением будет отказ от модели в ситуации, когда характеристики не вышли за указанные пределы. Далее на примере системы взаимозависимых эконометрических моделей общего вида изучим вероятности принятия неправильных решений, а также предложим один из вариантов решения проблемы по вычислению таких рисков.

Рассмотрим следующую модель:

или в векторно-матричном виде:

Будем считать, что существуют нижние допустимые границы yiдоп переменных yi. Заметим, что модель  (1) строится по  некоторым данным, что естественным образом определяет границы, выход за которые делает использование модели (1) самое меньшее сомнительным. Таким образом, если выполняется хотя бы одно из неравенств yi< yiдопi=1,m, то пользоваться моделью нельзя.

Допустимые границы задаются экспертным путем. Во-первых, они могут задаваться естественным образом, то есть на основе анализа данных, по которым была построена модель. Действительно, большинство эконометрических моделей дают хороший прогноз, если значения факторов попадают в некоторые интервалы. Эти интервалы определяются теми исходными значениями факторов, по которым была построена данная модель. Во-вторых, они могут быть заданы искусственно. То есть их значения определяются на основе тех целей, для которых собираются использовать данную модель.

Допустимые границы могут быть как верхние, так и нижние. В нашем случае мы рассматриваем случай существования нижних границ.

Далее определим риск неправильного решения об использовании модели (1). Под риском будем понимать вероятность принятия решения использовать модель (1), если выполнено хотя бы одно из неравенств yi< yiдопi=1,m, или принятия решения не использовать модель (1), если выполнены неравенства yi yiдопi=1,m.

Запишем систему (1) в следующем виде:

или

Обозначим через ŷi=yi-ui, i=1,m, предсказанные, оценочные значения yi, i=1,m. Из-за ошибок ui допустимые границы yiдоп, i=1,m, тоже должны быть изменены. Обозначим эти новые границы через ŷiдоп, i=1,m. Таким образом, если выполняется условие ŷi ŷiдоп, то принимается решение о применении модели (2). Если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, то моделью (2), а значит, и моделью (1) пользоваться нельзя.

Разницы между yi и ŷi, yiдоп и ŷiдоп возникают из-за неточности самой модели и вида взаимосвязи между переменными. Небольшие изменения экзогенных параметров могут привести к резким и большим скачкам эндогенных переменных.

Рассмотрим теперь следующие события:

Здесь:

Опишем ситуации, к которым приводят различные сочетания появления этих событий.

Отсюда видно, что принимается неправильное решение, если происходит событие А1◠В2 или событие А2◠В1. Найдем вероятности этих событий р(А1◠В2) и р(А2◠В1). Для вычисления заметим, что

То есть

Будем считать, что xi=mii. Здесь δi – случайная величина, на которую можно смотреть, как на ошибку измерения фактора xi.

Введем обозначения:

Тогда получим

В зависимости от количества экзогенных переменных x можно говорить о «кривой рисков» или о «поверхности рисков», которые представляют собой зависимости значений вероятности принятия неверного решения от значения экзогенных параметров. В одномерном и двухмерном пространстве факторов эти зависимости можно изобразить графически. В m-мерном  пространстве мы можем говорить о величине риска в окрестности некоторой точки, или вектора значений факторов.

Вычисление риска конкретной экономической системы. Рассмотрим модель, описывающую зависимость между стоимостью основных фондов, количеством рабочих, инвестиционными вложениями и объемом продукции [6].

Здесь y1 – стоимость основных фондов в млн злотых, y2 – количество работающих в тыс. чел., – инвестиционные вложения в млн злотых, x2 – объем продукции в тыс. штук, a0,a1,a2 и β012 – коэффициенты первого и второго уравнений соответственно, ε12– случайные составляющие.

По статистическим данным из [6] с помощью косвенного метода наименьших квадратов (см., напр., [7]) получим оценки параметров модели. В результате система (3) примет вид

Сведем систему (4) к приведенной форме:

В итоге получаем:

Введем допустимую область безопасного функционирования системы, т.е. будемсчитать, что существуют нижние допустимые границы y1доп и y2доп, выход за которые делает использование моделей (4), (5), самое меньшее, сомнительным. Таким образом, если выполняется хотя бы одно из неравенств y1<yiдоп  i=1,2, то анализ ситуации на рынке с помощью модели (4) проводить нельзя.

Теперь применим исследованные ранее методы к определению вероятности риска неправильного решения об использовании модели (4). Под риском, как оговаривалось ранее, будем понимать вероятность принятия решения использовать модель (4), если выполнено хотя бы одно из неравенств: y1<yiдоп    i=1,2, или принятия решения  не  использовать модель (4),  если выполнены  неравенства yi yiдоп  i=1,2.

Введем некоторые обозначения: ŷi=yi-ui (i=1,2) – предсказанные, оценочные значения yi i=1,2. Из-за ошибок u1 и u2 допустимые границы yiдоп i =1,2, должны быть изменены. Обозначим эти новые границы через ŷiдоп, i =1,2.

Тогда

Найдем вероятности событий р(А1◠В2) и р(А2◠В1). Для этого заметим, что

то есть

Будем считать, что x1=mx11, x2=mx22. Здесь δi – случайная величина, на которую можно смотреть как на ошибку измерения фактора xi. Пусть также

Тогда из (6) следует, что

Аналогично находим

Таким образом, риск р – вероятность того, что при использовании модели (4) будет принято неправильное решение, определяется по формуле

В случае, когда x1,x2 – детерминированные величины,  ошибки при их измерении равны нулю (δ1=0, δ2=0) и принадлежность (ŷ12)∈Ω2 не рассматривается, событие B1 имеет место всегда (принятие модели). Следовательно, нужно искать только р(А2◠В1)=р(А2)=1-р(А1) –ситуация, когда мы принимаем модель, а фактические значения параметра ниже допустимых.

Используя вышеназванные обозначения, найдем искомую вероятность

Предполагая, что параметры имеют закон распределения, близкий к нормальному, проверяем соответствующую гипотезу. Используя данное предположение, находим совместную плотность распределения ошибок ε12: W(ε12), и выполняем соответствующие преобразования.

Далее, используя обычное обозначение функции Лапласа, получим

В результате всех произведенных расчетов получено значение вероятности риска принятия неправильного решения об использовании модели (4): р=0,06.

Теперь для интерпретации результата воспользуемся эмпирической шкалой допустимого уровня риска [8]. В данной постановке задачи полученная вероятность риска неправильного решения попадает в интервал, обозначенный как «минимальный», таким образом, при всех указанных допущениях анализ ситуации на предприятии с помощью данной модели (4) (или (5)) проводить можно.

Приведем следующие выводы. В данной работе представлен метод оценки риска при использовании систем одновременных уравнений. С учетом особенностей эконометрической модели описана схема определения множеств допустимых значений. При последующем анализе состояния экономической системы на различных областях исследуемых переменных предложена схема определения вероятности-риска в зависимости от фиксации конкретного набора переменных. Для иллюстрации предложенного метода рассмотрена модель зависимости между стоимостью основных фондов, количеством рабочих, инвестиционными вложениями и объемом продукции. По результатам оценки эконометрической модели установлена вероятность неправильной оценки инвестиционных вложений по указанным выше факторам.

Список источников

  1. Живетин В.Б. Аэромеханический контроль. – Казань: Издательство Казанского математического общества, 2000 – 195с.
  2. Живетин В.Б. Риски и безопасность экономических систем (математическое моделирование). — 2-е изд. — М. : Изд-во Института проблем риска, 2005. – 345 с.
  3. Первадчук В.П., Севодина В.М., Севодин М.А. О рисках, возникающих при моделировании экономических индикаторов // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Сер. Экономические науки. – 2013, № 3 (173). – С. 150-156
  4. Севодин М.А., Севодина В.М. О некоторых рисках, возникающих при использовании линейных регрессионных зависимостей // Управление экономическими системами : электронный научный журнал. – 2013, № 1. — URL: http://uecs.ru/instrumentalnii-metody-ekonomiki/item/1947-2013-01-25-06-15-40
  5. Севодин М.А. Характеристики рисков, возникающих при моделировании взаимозависимых величин // Перспективы науки. – 2015, № 8(71).-С.107-110.
  6. Экономическая оценка инвестиций / Под ред. М.Римера. 3-е изд. перераб. и доп. – Спб.: Питер, 2009. – 416 с.: ил. – (Серия «Учебник для вузов»).
  7. Новак Эдвард. Введение в методы эконометрики. Сборник задач: Пер. с польск. / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2004. –248 с.:ил.
  8. Шапкин А.С., Шапкин В.А. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций. – 7-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2009. – 544 с.:ил.

References

  1. Zhivetin V.B. Aeromekhanicheskii kontrol. – Kazan: Izdatelstvo Kazanskogo matematicheskogo obshchestva, 2000 – 195s.
  2. Zhivetin V.B. Riski i bezopasnost ekonomicheskikh sistem (matematicheskoe modelirovanie). — 2-e izd. — M. : Izd-vo Instituta problem riska, 2005. – 345 s.
  3. Pervadchuk V.P., Sevodina V.M., Sevodin M.A. O riskakh, voznikaiushchikh pri modelirovanii ekonomicheskikh indikatorov // Nauchno-tekhnicheskie vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politekhnicheskogo universiteta. Ser. Ekonomicheskie nauki. – 2013, № 3 (173). – S. 150-156
  4. Sevodin M.A., Sevodina V.M. O nekotorykh riskakh, voznikaiushchikh pri ispolzovanii lineinykh regressionnykh zavisimostei // Upravlenie ekonomicheskimi sistemami : elektronnyi nauchnyi zhurnal. – 2013, № 1. — URL: http://uecs.ru/instrumentalnii-metody-ekonomiki/item/1947-2013-01-25-06-15-40
  5. Sevodin M.A. Kharakteristiki riskov, voznikaiushchikh pri modelirovanii vzaimozavisimykh velichin // Perspektivy nauki. – 2015, № 8(71).-S.107-110.
  6. Ekonomicheskaia otsenka investitsii / Pod red. M.Rimera. 3-e izd. pererab. i dop. – Spb.: Piter, 2009. – 416 s.: il. – (Seriia «Uchebnik dlia vuzov»).
  7. Novak Edvard. Vvedenie v metody ekonometriki. Sbornik zadach: Per. s polsk. / Pod red. I.I. Eliseevoi. – M.: Finansy i statistika, 2004. –248 s.:il.
  8. Shapkin A.S., Shapkin V.A. Ekonomicheskie i finansovye riski. Otsenka, upravlenie, portfel investitsii. – 7-e izd. – M.: Izdatelsko-torgovaia korporatsiia «Dashkov i Ko», 2009. – 544 s.:il

Для цитирования: Севодин М.А., Соколов В.А. О влиянии математического моделирования на оценку инвестиционного риска // Московский экономический журнал. 2021. № 9. URL: https://qje.su/ekonomicheskaya-teoriya/moskovskij-ekonomicheskij-zhurnal-9-2021-3/

© Севодин М.А., Соколов В.А., 2021. Московский экономический журнал, 2021, № 9.