УДК 330.42

DOI 10.24411/2413-046Х-2020-10470

Моделирование конкурентной борьбы компаний

Modeling the competition of companies

Воробьева Елена Юрьевна, старший преподаватель, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь

Пепеляева Татьяна Федоровна, кандидат технических наук, доцент, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь

Vorobeva E.U., lena-vorobey@yandex.ru

Pepelyaeva T.F., tania4072@gmail.com

Аннотация. В статье поставлена задача описания конкуренции крупнейших нефтегазовых компаний России. Составлена экономико-математическая модель конкуренции, описываемая системой дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Полученные результаты моделирования хорошо соотносятся с эмпирическими данными, что позволяет судить об адекватности модели и пригодности её для дальнейшего прогнозирования состояния системы.

Исследована возможность устойчивого сосуществования рассматриваемых компаний, при котором они все «выживают» в рамках своих возможностей, сделаны выводы о дальнейших значениях прибыли компаний и их взаимодействии.

Summary. In the article, the aim is to describe the competition of the largest oil and gas companies in Russia. An economic and mathematical model of competition, described by the system of differential equations with specified initial conditions, has been created. The results of the simulation correlate well with empirical data, which allows to judge the adequacy of the model and its suitability for further prediction of the state of the system. The possibility of sustainable coexistence of the companies in question, in which they all «survive» within their capabilities, has been explored, conclusions have been drawn about the further values of companies’ profits and their interaction.

Ключевые слова: конкуренция компаний, экономико-математическое моделирование, дифференциальные уравнения, прогнозирование состояния системы.

Keywords: competition of companies, economic and mathematical modeling, differential equations, forecasting the state of the system.

Важной особенностью рыночной экономики является свобода выбора. Экономический успех формируется в условиях конкурентной борьбы компаний. Экономико-математическое моделирование является актуальной задачей анализа экономических объектов и экономического прогнозирования.

Рассмотрим динамическую задачу конкуренции на мировом рынке трех конкурирующих компаний (I, II, III) за последние годы. В основу положена следующая математическая модель:

где a_i – коэффициент «рождаемости» i-ой «популяции» (или «вида»), a_ii – её коэффициент «смертности»,a_ij – степень подавления i-ого «вида» j-ым «видом». Идея построения такой модели основана на модели «хищник-жертва» Лотки-Вольтерра [1].

Обозначим: x₁ чистая прибыль компании I, а x₂ и x₃ чистая прибыль компаний II и III соответственно.

На рисунке 1 представлены реальные данные чистой прибыли компаний  [2]-[4], позволяющие сделать выводы о том, что в большей степени идет поглощение со стороны компании III. Отметим, что на прибыли компаний I и II в 2009 году сказался кризис, но это не повлияло на прибыль компании III. В 2014 году компания I несет небольшие убытки, а прибыль III резко падает в связи с валютным кризисом в России. На чистой прибыли компании II это никак не сказывается, однако, она несет убытки не во время самого кризиса, а после него (в 2015-2016 гг.).

Проведено описание динамики чистой прибыли компаний с помощью модели (1), которая представляет собой систему дифференциальных уравнений [5, 6].

Вычислены  коэффициенты рождаемости, смертности, а также степени подавления между предприятиями. Коэффициент рождаемости a_i – это отношение значений чистой прибыли компаний в разные годы. Коэффициент смертности a_ij – отношение значений прибыли и чистой прибыли компаний в разные годы. Полученные результаты занесены в таблицу 1.

Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о том, что наибольшее значение коэффициента рождаемости имеет компания I (в 2004 г.), а наименьшее значение имеет компания III (в 2016 г.). Наибольшее значение коэффициента смертности имеет компания III (в 2004 г.), а наименьшее компания II (в 2017 г.).

На рисунках 2-4 представлены зависимости коэффициентов рождаемости и смертности от времени, для каждой  компании.

Из анализа графика (рис. 2) следует, что коэффициент рождаемости значительно превышает коэффициент смертности.

График (рис.3) показывает, что коэффициент рождаемости незначительно превышает коэффициент смертности, а иногда опускается ниже коэффициента смертности.

Можно сделать вывод (рис. 4), что коэффициент рождаемости преимущественно превышает коэффициент смертности, но иногда опускается ниже коэффициента смертности.

Если коэффициент рождаемости выше коэффициента смертности, то шансы, что компания будет расширяться, увеличиваются. Если же коэффициент смертности выше коэффициента рождаемости, то увеличатся шансы на сокращение компании. И, как следствие, меняется прибыль компаний.

С помощью регрессионного анализа и программы «Statistica» вычислены коэффициенты, показывающие степень подавления a_ij между компаниями. Полученные данные представлены в таблице 2.

Анализ полученных коэффициентов (табл.2) показывает, что большее количество положительных коэффициентов имеет компания III. Это означает, что данная компания в меньшей степени обречена на разорение по сравнению с компаниями I и II.

С помощью полученных коэффициентов построим модель конкуренции компаний. Для прогнозирования на 2015-2017 годы возьмем данные за 2014 год в качестве начальных условий, тогда система примет  вид:

Для прогноза чистой прибыли компаний, решена система (2) методом Рунге-Кутта четвертого порядка, преимуществом которого является возможность использования переменного шага, что позволяет учитывать локальные особенности искомой функции.

На рисунке 5 представлены зависимости чистой прибыли предприятий с 2014 г. по 2022 г.

Графическая интерпретация (рис. 5) прогноза прибыли компаний. позволяет нам сделать выводы о том, что наблюдается резкий скачок прибыли компании III с 2014 по 2015 гг., а с 2016 года прибыль компании монотонно убывает. Резких скачков у компаний I и II не наблюдается: прибыль компаний монотонно убывает, причем значения прибыли этих двух компаний близки. Из вышеперечисленных результатов следует, что система находится в стабильном состоянии, т.е. компании способны сосуществовать на рынке.

Для сравнения модельных данных с реальными, построены  графики модельных и эмпирических данных для нефтегазовых компаний (рис.6,7). Модельные данные, полученные с помощью численного решения методом Рунге-Кутта в программе «Matlab», совпадают с реальными как качественно, так и количественно с небольшой погрешностью, что говорит о возможности применения модели для дальнейшего прогнозирования.

Для поиска оптимальных решений составим линейную систему уравнений:

Решив систему, получаем точку пересечения трех плоскостей с координатами x=(3,67;3,32;15,15), каждая координата является положительной. Это определяет возможность устойчивого существования трех конкурирующих компаний, при котором они все «выживают» в рамках своих возможностей .

Реализуем программу расчета фазовых траекторий  с различными начальными параметрами и построим трехмерный график в фазовом пространстве на основе полученных результатов.

Набор реализаций представлен на рисунке 7, где конкурентная борьба приводит (после затухающих колебаний) к установлению некоторого стационарного состояния, выражающего равновесие компаний. Особая точка, к которой подобным образом стремится решение уравнений (3), называется устойчивым фокусом. При любом начальном условии состояние системы через некоторое время становится близко к стационарному и стремится к нему при.

На рисунке 8 изображено фазовое пространство, а также точка пересечения трех фазовых плоскостей. Итак, в статье смоделировано взаимодействие  компаний в современных условиях. На основе модели «хищник-жертва» построена математическая модель конкуренции предприятий, рассчитаны прогнозируемые значения прибыли компаний и показана возможность их устойчивого сосуществования.

Литература

1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование // М.: Наука. 1976. 248 С.
2. Зайцев М. П. Стоит ли покупать акции «Газпром»// Аналитическая оценка.  Москва: Личные финансы и инвестирование. 2017. Режим доступа: http://ibuffet.ru/gazprom/.
3. Зайцев М. П. Стоит ли покупать акции «Роснефть»// Аналитическая оценка.  Москва: Личные финансы и инвестирование. 2017. Режим доступа: http://ibuffet.ru/rosneft/.
4.  Зайцев М. П. Стоит ли покупать акции ПАО «Лукойл»// Аналитическая оценка.  Москва: Личные финансы и инвестирование. 2017. Режим доступа: http://ibuffet.ru/lukoil/.
5. Аматова Г.М. Математическая модель динамики трех популяций «два хищника-жертва» с внутривидовой конкуренцией жертвы // XI век: фундаментальная наука и технологии. 2017.  Т.1.  С. 157-161.
6. Аматов М.А. Исследование математической модели динамики численностей трех взаимодействующих популяций/М.A. Аматов, Г.М. Аматова, И.С. Кузнецова // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского. Тамбов, 2009.  № 12.  С. 41-49.