Московский экономический журнал 6/2020

image_pdfimage_print

УДК 519.852

DOI 10.24411/2413-046Х-2020-10412

О ДИВЕРСИФИКАЦИИ ИНДЕКСНОГО ФОНДА

THE DIVERSIFICATION OF AN INDEX FUND

Северина Любовь Александровна Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Севодин Михаил Алексеевич, научный руководитель, к.ф.-м.н., доцент, Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Severina Liubov Aleksandrovna

Sevodin Mikhail Alekseevich

Аннотация. В работе предложены новые подходы к решению задачи оптимизации портфеля ценных бумаг. Указано направление, по которому можно объединять известные модели составления оптимальной структуры портфеля, базирующиеся с одной стороны на активном способе управления, а с другой стороны на пассивном. Совместное использование названных методов проведено в виде диверсификации или метода EGP, которые, помимо своих обычных целей, еще и приводят к портфелю, по составу максимально приближенному к структуре индексного фонда. В качестве одного из возможных здесь направлений исследований предложено вводить дополнительную целевую функцию, которая описывает степень совпадения распределения долей ценных бумаг портфеля инвестиций с распределением, построенным по методу индексного фонда. Показано, что итогом такого подхода является двухкритериальная задача оптимизации с ограничениями. В заключение работы авторы приводят практическую иллюстрацию предлагаемой модели, результаты которой показывают возможность практического использования разработанной методики.        

Summary. This paper describes a new way to solve the problem of optimization of the securities portfolio. It describes the direction in which it is possible to combine known models of drawing up an optimal portfolio structure based on the one hand on the active control method, on the other hand on the passive. Sharing these practices carried out in the form of diversification or method Elton-Gruber, which in addition to its ordinary purpose, and even lead to the portfolio composition as close as possible to the index fund structure. As one of the possible lines of research are proposed to introduce additional objective function that describes the degree of coincidence of the distribution of shares of the securities portfolio with the distribution constructed by the method of the index fund. It has been shown that the outcome of this approach is two factor optimization model with constraints. In conclusion, the authors give a practical illustration of the proposed model, the results of which indicate the possibility of the practical use of the developed method.

Ключевые слова: портфель ценных бумаг, доходность, риск, структура индекса.

Keywords: portfolio, profitability, risk, index structure.

1.Введение. Так как на финансовом рынке невозможно найти ценную бумагу, которая одновременно будет ликвидной, а также иметь высокий доход и являться высоконадежной (т.е. иметь нулевой риск), следует прибегнуть к портфельному инвестированию, которое подразумевает под собой распределение инвестиционного потенциала между различными группами активов. В широком смысле, слово «инвестировать» означает расстаться с деньгами сегодня, чтобы в дальнейшем получить большую сумму.

Приняв решение о необходимости инвестирования денежных средств в финансовые активы, инвестор начинает чаще всего работает не с отдельным определенным активом, а с некоторой совокупностью этих активов, называемым портфелем ценных бумаг, или инвестиционным портфелем.

Под инвестиционным портфелем понимается некий набор ценных бумаг, принадлежащих физическому или юридическому лицу, выступающая как целостный объект управления.

В зависимости от поставленных целей и задач, при формировании какого-либо портфеля ценных бумаг, выбирается определенное процентное соотношение между активами входящими в его состав. Как правило, портфель представляет собой определенный набор из ценных бумаг.

Основной задачей, при формировании портфеля ценных бумаг является грамотный учет всех потребностей инвестора и состав портфеля ценных бумаг, сочетающий в себе допустимый риск и приемлемую доходность.

Но так как рынок очень изменчив, мало просто составить хороший портфель, т.к. портфель, который хорош сегодня, уже завтра может стать неэффективным. Поэтому необходимо грамотно вести оптимальное управление портфелем ценных бумаг. Модели управления портфелем ценных бумаг могу быть активными или пассивными.

Под активной моделью управления портфелем ценных бумаг, понимается своевременное варьирование состава финансовых инструментов в портфеле в случае нарушения инвестиционных целей. В активной модели важно постоянно определять и привлекать к портфелю ценных бумаг эффективные рыночные инструменты и в это же время избавляться от неэффективных, на данный момент, активов.

Пассивные же методы управления, в свою очередь, основываются на предположении о информационной достаточности рынка ценных бумаг. В данном случае исходят из представления о невозможности стабильного отклонения от среднерыночных уровней доходности финансовых инструментов.

Исходя из этого можно сделать вывод, что наиболее интересным будет рассмотрение совместного использования пассивного и активного методов управления портфелем ценных бумаг. [1]

В данной работе делается попытка объединения названных методов. В качестве представителей активного управления берутся диверсификация (модель Марковица) [2] и метод EGP [3], а в качестве представителя пассивного управления – метод индексного фонда. В настоящей статье предлагается под результатом объединения этих методов понимать соответствующим образом построенную в работе двухкритериальную задачу с ограничениями. В заключении работы полученные результаты иллюстрируются на конкретном примере.

2. Метод EGP и модель Марковица. В методе EGP ставится задача нахождения оптимальных удельных весов инвестиций в различные ценные бумаги ПЦБ [3]. ПустьRit– доходность i-й ценной бумаги в моментt. Она выражена в процентах прибыли.

uде St – стоимость i-й ценной бумаги в моментt.

 Тогда доходность портфеля в момент t:

где ki – доля инвестиций в i-ю ценную бумагу, входящую в состав  ПЦБ,

Математическое ожидание доходности портфеля также является взвешенной средней ожидаемых доходов от отдельных ЦБ:

Рискованность данного ПЦБ оценивается стандартным отклонением

вычисляемым на основе дисперсии его доходности:

где U2i– дисперсия доходности i-й ценной бумаги, Uij-ковариации между доходностями i-й и j-й ценными бумагами:

В методе EGP построение оптимального ПЦБ соответствует максимизации следующей функции

где Rf-норма доходов ЦБ с фиксированным процентом, для этих бумаг риск равен нулю, т. е. Uf=0. Максимальное значение функции

соответствует решению системы уравнений

Итак, решение системы определяет оптимальную структуру портфеля при заданном наборе ЦБ и норме доходов Rf по ЦБ с фиксированным процентом.

Перейдем теперь к модели Марковица. В отличии от (1), в этой модели эффективный ПЦБ-это портфель, имеющий минимальный риск при данном уровне доходности портфеля (или, имеющий максимальную доходность при заданном уровне риска). Поиск решения здесь сводится к построению в плоскости

кривой, называемой эффективным фронтом (каждая точка кривой удовлетворяет названному критерию оптимальности и соответствует конкретной структуре ПЦБ). Для этого для каждого

минимизируется функция

Задача (2) решается методами квадратичного программирования. Далее по определенным для каждого

долям ПЦБ определяются доходность и риск, которым соответствует точка на эффективном фронте.

3. Учет индексного фонда. Учет индексного фонда проведем с помощью аналогов кривой Лоренца [4] и коэффициента Джини [5]. Для начала построим идеальную кривую Лоренца, то есть биссектрису первого координатного угла, которую назовем кривой . Далее будем строить аналог кривой Лоренца – кривую распределения

долей ценных бумаг ПЦБ. При построении индексов будем использовать систему условного взвешивания, то есть находить долю каждой ценной бумаги в общем объеме продаж. Эту долю будем брать за вес, который назначается каждой ценной бумаге при использовании метода индексного фонда. Таким образом, имеются значения долей

Упорядочив доли по не убыванию вложенных в них средств и переномеровав, получим новую последовательность

Далее на координатной плоскости отметим точки 

Очевидно, что Sk равно общему числу вклада в k первых долей, а SN соответствует сумма всех долей. Соединяя соседние точки отрезками прямых, получаем ломаную линию, концами которой являются начало координат и точка (1,1), которую назовем кривой Гk.

По аналогии построим на координатной плоскости ломаную соответствующую решению, полученному методов EGP. На входе будем иметь упорядоченную последовательность

Полученную кривую обозначим за

Аналогично коэффициенту Джини [5] введем для данного распределения

коэффициент близости к распределению индексного фонда

где

-площадь фигуры, ограниченной отрезком биссектрисы первого координатного угла Г и кривой Гk,

— соответственно площадь между

Заметим, что

и что чем меньше будет значение этого коэффициента, тем ближе кривая Гk к кривой

Таким образом, можно говорить о двух задачах.

Задача 1(диверсификация индексного фонда):

Задача 2(оптимизация типа EGP индексного фонда):

4. Пример. Рассмотрим задачу 2. В качестве инструментов, входящих в портфель, выберем акции таких компаний как, Сбербанк ПАО (SBER), Газпром ПАО (GAZP), Роснефть ПАО (ROSN) ОАО ЛУКОЙЛ (LKOH), ОАО ГМК Норильский никель (GMKN), ОАО НОВАТЭК (NVTK), Газпром нефть (SIBN), ОАО Татнефть (TATN), Яндекс Н.В. (YNDX), Банк ВТБ (ОАО) (VTBR), ОАО Мобильные ТелеСистемы (MTSS), ОАО Ростелеком (RTKM), ОАО Аэрофлот (AFLT), ОАО Акрон (AKRN). На входе мы имеем данные о стоимости акций и объем продаж на период 01.11.2019-28.02.2020. Все данные взяты с сайта http://ru.investing.com, на котором представлены актуальные данные котировок акций.

Так как мы имеет две целевые функции (функцию доходности и функцию объема продаж), задачу будем решать методом уступок [6], в данном случае за целевую функцию возьмем функцию объема продаж. Результаты приведем в виде кривых Гk. При решении данной задачи получим следующее решение (Рисунок 1-Рисунок 4):

На следующем графике (Рисунок 5) представлены кривые построенные при выбранной уступке в 20%. Зеленым обозначена кривая Г (идеальная кривая Лоренца), синим кривая (полученная на основе метода EGP), оранжевым кривая

(полученная на основе решения задачи 2).

Для вычисления коэффициента Джини воспользуемся формулой площади Гаусса, получим следующее

из этого следует, что коэффициент Джини равен:

Из представленных выше данных можно сделать вывод о том, что в приведенном примере, результаты, полученные при нахождении оптимального портфеля ценных бумаг методом уступок, являются наиболее интересными для рассмотрения, так как доходность данного портфеля (0,1645678) более высокая, нежели доходность портфеля, полученная при нахождении весов методом EGP (0,074991626).

Список литературы

  1. Портфельное инвестирование: уч. пособие / А.А. Пересада, А.Г. Шевченко, Ю.М. Коваленко, С.В. Урванцева. — К.: КНЭУ 2004. — 408 с.
  2. Markowitz H.M. Portfolio Selection. Journal of Finance, 1952. V.7. № 1. – 15c.
  3. Elton E.J., Gruber M.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. N.Y.: JohnWileyandSons, 1987. -645c.
  4. Экономика: Учебник.3-е изд., перераб. и доп. / Под ред. д-ра экон. наук проф. А.С. Булатова. — М.: Экономистъ, 2003. -635c.
  5. Экономическая теория: учеб. / В.И. Антипина, И.Э. Белоусова, Р.В. Бубликова [и др.] ; под ред. И.П. Николаевой. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. -576с.
  6. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие/Н.И. Холод, А.В. Кузнецов, Я.Н. Жихар и др.; под ред. А.В. Кузнецова. -2-е изд. – Мн.: БГЭУ, 2000. -412с.

References

  1. Portfolio investment: textbook / A. A. Peresada, A. G. Shevchenko, Yu. M. Kovalenko, S. V. Urvantseva. — K.: KNEU 2004. — 408 p.
  2. Markowitz H.M. Portfolio Selection. Journal of Finance, 1952. V.7. № 1. – 15s.
  3. Elton E.J., Gruber M.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. N.Y.: JohnWileyandSons, 1987. -645s.
  4. Jekonomica: Uchebnik.3-e izd., pererab. i dop. / Pod red. d-ra jekon. nauk prof.A.S. Bulatova. – M.: Jeconomists, 2003. -635s.
  5. Jekonomicheskaja teorija: ucheb. / V.I. Antipina, I.E. Belousova, R.V. Bublikova [I dr.] ; pod red. I.P. Nikolaevoy. – 2-e izd., pererab. I dop. – M.: TK Velbi, Izd-vo Prospekt, 2006. -576s.
  6. Jekonomiko-matematicheskie metody i modeli: Ucheb.  posobie/N.I. Holod, A.B. Kuznetsov, Ya.N. Zhihar i dr.; Pod red. A.B. Kuznetsova. -2-e izd. – Mn.: BGEU, 2000.-412s.