Московский экономический журнал 3/2019

УДК 338.2

DOI 10.24411/2413-046Х-2019-13020

РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧИ ДОСТАВКИ МАКСИМАЛЬНОГО ВОЗМОЖНОГО КОЛИЧЕСТВА ГРУЗА ЗА ОПРЕДЕЛЕННОЕ ВРЕМЯ
МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

SOLUTION OF THE PROBLEM OF DELIVERY OF THE MAXIMUM
POSSIBLE QUANTITY OF FREIGHT IN A DEFINITE TIME BY METHOD OF MATHEMATICAL
MODELLING

Илья Игоревич Бочкарев, аспирант кафедры Экономика аэрокосмической промышленности, ФГБОУ ВО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)», e-mail: bych93@mail.ru

Ilya
I. Bochkaryov, Graduate student of the
Economy of the Space Industry department Moscow Aviation Institute (National Research
University)

Аннотация: Теория линейного программирования, в общем случае теория оптимизации, развивалась параллельно с исследованием потоков в сетях. Тем не менее структура потоковых задач, как с практической, так и с теоретической сторон, приводит к более эффективным решениям, чем решение линейных программ. Наибольшее внимание исследователей данный подход получил с момента выбора его Фордом и Фалкерсоном в их фундаментальном труде по потокам в сетях.

Прежде всего
исследования в теории потоков определялись военными нуждами — благодаря связи
между максимальными потоками и минимальными разрезами. Данная статья
рассматривает гражданское применение теории потоков в направлении решения задач
доставки максимального количества грузов за определенный временной отрезок. Рассмотрен
алгоритм решения задачи о максимальном потоке в сети. Разобраны основные
понятия максимального потока в сети. Рассмотрен алгоритм поиска максимального потока в графе Форда-Фалкерсона.

Summary:  The theory of linear programming, in general, the theory of optimization, developed in parallel with the study of flows in networks. Nevertheless, the structure of streaming problems, from both practical and theoretical sides, leads to more efficient solutions than the solution of linear programs. This approach received the most attention of researchers from the moment it was selected by Ford and Fulkerson in their fundamental work on flows in networks.

First of all, research in the theory of flows was
determined by military needs — thanks to the connection between maximum flows
and minimum cuts. This article examines the civilian application of the theory
of flows in the direction of solving the problems of delivering the maximum
amount of goods for a certain time period. The algorithm for solving the
problem of the maximum flow in the network is considered. The basic concepts of
the maximum flow in the network. The algorithm for searching the maximum flow
in the Ford-Fulkerson graph is considered.

Ключевые
слова: материально-техническое снабжение, теория потоков,
задача доставки груза, максимальный поток в сети, транспортная сеть, пропускная
способность, теорема Форда — Фалкерсона, алгоритм Форда — Фалкерсона.

Keywords: logistics, the theory of streams, a problem of
delivery of freight, the maximum stream in network, transport network,
capacity, Ford’s theorem — Falkersona, Ford’s algorithm — Falkersona.

Структуры снабжения
предприятия решают основную задачу оптимального и своевременного обеспечения
производственных мощностей всеми необходимыми материальными ресурсами заданного
качества и комплектности. Для решения данной задачи необходимо постоянно
изучать и учитывать уровень цен на потребные материальные ресурсы и услуги
сторонних компаний, а также выбор наиболее эффективных и экономически выгодных
форм взаимодействия, оптимизации запасов и снижения складских и
транспортно-заготовительских расходов.

Получается, что процесс
снабжения в общем виде представляет собой совокупность всех операций,
направленных на обеспечение предприятия всеми необходимыми для деятельности
ресурсами и средствами труда. Одной из главных причин несоблюдения сроков
изготовления изделия или продукции, как на промежуточных, так и на конечном
этапах является нарушение сроков поставки материальных ресурсов, необходимых
для производства по всей длине производственной цепи. Так же, важно понимать,
что несоответствие поставляемых материальных ресурсов требованиям к качеству и
количеству сразу приводит к повышению себестоимости итоговой продукции. В свою
очередь, своевременная поставка производству материальных ресурсов необходимого
качества, комплектности и ассортимента позволяет сократить затраты труда на
изготовление продукции и потери времени, в связи с простоем оборудования, при
отсутствии материальных ресурсов. Таким образом, от качественного
функционирования снабжения зависит качество выполняемых производственных
функций или услуг не только в данном конкретном звене, но и во всех последующих
этапах производства.

Помимо прочего,
закупочная деятельность является одной из важнейших составляющих процесса
управления запасами предприятия. Значение ее тем более велико, что снижение
затрат всего лишь на 1 % приносит для предприятия в среднем 12 % дополнительной
прибыли, что намного превышает аналогичные показатели для других частей бизнес-
процесса. В связи с этим крайне важно оптимизировать закупочную деятельность, в
частности, правильно определить размер заказа и момент его поступления. Как
правило, на практике для решения этой задачи пользуются формулой Вильсона. Но
одним из предположений, в которых она выведена (и может быть использована),
является предположение о неизменности закупочных цен. Однако на практике
неизменность закупочных цен встречается лишь в узком временном интервале.
Вследствие чего возникает задача планирования оптимального графика поставок в
условиях ожидаемых изменений цен на закупаемые материально-технические ресурсы.

Широкое применение в
различных областях знаний, в последнее время получила теория графов. С ее
помощью эффективно можно описать задачи планово-производственной и
экономической практики, так, например, календарное и сетевое планирование и
управление, автоматизация управления производством, рационализация схем
перевозок и грузопотоков, оптимальное размещение производства т.п.

Более 60 лет изучается
задача о максимальном потоке. Первоначально задача о максимально потоке
решалась simplex методом линейного программирования, на данный способ был не
так эффективен. Фордом и Фалкресоном было предложено рассмотреть для решения
этой задачи ориентированную сеть, а так же поиск решения при помощи
итерационного алгоритма. В течение 20 лет, все передовые достижения в
исследовании данной задачи базировались на их методе. В 1970г. наш
соотечественник, Диниц, предложил решать задачу с использованием
вспомогательных бесконтурных сетей и псевдомаксимальных потоков, что намного
увеличило быстродействие разрабатываемых алгоритмов. А в 1974 Карзанов улучшил
метод Диница, введя такое понятие как предпоток. Алгоритмы Диница и Карзанова,
как и исследования Форда и Фалкерсона, внесли огромный вклад в решение данной
проблемы. На основе их методов 15 лет достигались наилучшие оценки
быстродействия алгоритмов. В 1986г. появился третий метод, который также без
раздумий можно отнести к фундаментальным. Этот метод был разработан Голдбергом
и Таряном, и получил название Push-Relabel метода. Для нахождения максимального
потока, он использует предпотоки и метки, изменяемые во время работы алгоритма.
Push-Relabel алгоритмы очень эффективны, и исследуются до сих пор. И, наконец,
в 1997г. Голдберг и Рао предложили алгоритм, присваивающий дугам неединичную
длину. Это самый современный из всех известных алгоритмов.

Основные понятия максимального потока в сети.

В теории
графов транспортная сеть — ориентированный граф 

, в котором каждое

имеет поток

и неотрицательную пропускную способность 

дуги, и существует:

ровно одна вершина

1. ровно одна вершина

, в которую не заходит ни одна дуга, называемая источником или началом сети;

2. ровно одна вершина

, из которой не выходит ни одной дуги; эта вершина
называется стоком или концом сети.

Выделяются две вершины: источник

и сток

такие, что любая другая вершина сети лежит на пути

Транспортная сеть может быть
использована для моделирования, например, дорожного трафика.

Задача
о максимальном потоке (maximum flow problem): найти поток f такой, что величина потока
максимальна.Потоком сети
называется неотрицательная функция f(1) такая, что f(e) меньше или равно c(e).
(Поток не может превышать пропускную способность дуги.)

Дуга

называется насыщенной
потоком f, если

(Поток называется полным, если содержит насыщенную дугу f(e)=c(e).)Разрез (s-t cut) — разбиение множества всех вершин V на два подмножества, A и B, таких что

Пропускная
способность разреза (A,B) (the capacity of an s-t cut (A,B)) —
сумма пропускных способностей всех рёбер из A в B

Поток
через разрез (A,B) — сумма
всех потоков из A в B

Он не превышает пропускную способность разреза,
поскольку

Минимальный разрез
— разрез с минимальной пропускной способностью.Остаточная пропускная
способность (residual capacity) ребра

Она всегда неотрицательна из-за условия на ограничение пропускной способности.

Остаточная сеть (residual network) — граф

множество рёбер с положительной остаточной пропускной способностью.

Увеличивающий (остаточный, дополняющий) путь (augmenting path) — это путь  в остаточной сети, где

Ниже
доказано, что поток максимален тогда и только тогда, когда нет увеличивающего
пути в остаточной сети.

Теорема
Форда — Фалкерсона

Теорема
Форда—Фалкерсо́на — теорема о максимальном потоке в графе.

Звучит
так: величина максимального потока равна величине минимального разреза.

Достаточность:
любой поток между вершинами t и s меньше или равен величине любого сечения.
Пусть дан некоторый поток и некоторое сечение. Величина данного потока
складывается из величин «грузов», перевозимых по всем возможным путям из
вершины t в s. Каждый такой путь обязан иметь общее ребро с данным сечением.
Так как по каждому ребру сечения суммарно нельзя перевести «груза» больше, чем
его пропускная способность, поэтому сумма всех грузов меньше или равна сумме
всех пропускных способностей рёбер данного сечения. Утверждение доказано.

Отсюда
следует, что любой поток меньше или равен величине минимального сечения, а
значит и максимальный поток меньше или равен величине минимального сечения.

На
этой теореме основан алгоритм Форда — Фалкерсона поиска максимального потока в
графе, он же является доказательством необходимости данной теоремы, то есть оно
является конструктивным.

Алгоритм
Форда — Фалкерсона решает задачу нахождения максимального
потока в транспортной сети.

Идея
алгоритма заключается в следующем. Изначально величине потока присваивается
значение 0:

для всех

Затем
величина потока итеративно увеличивается посредством поиска увеличивающего пути
(путь от источника s к стоку t, вдоль которого можно послать больший поток).
Процесс повторяется, пока можно найти увеличивающий путь.

Неформальное
описание

1. Обнуляем все потоки. Остаточная сеть
   изначально совпадает с исходной сетью.
2. В остаточной сети находим любой путь из
   источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.
3. Пускаем через найденный путь (он
   называется увеличивающим путём или увеличивающей цепью) максимально возможный
   поток:

1.На найденном пути в остаточной сети ищем ребро с минимальной пропускной способностью

2. Для каждого ребра на найденном пути увеличиваем поток на

, а в противоположном ему — уменьшаем на

3. Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Если она стала ненулевой, добавляем ребро к остаточной сети, а если обнулилась, стираем его.

4. Возвращаемся на шаг
2.

Необходимо понимать,
что алгоритм не уточняет какой путь ищется или как именно это делается. Исходя
из этого алгоритм гарантированно сойдется только для целых пропускных
способностей, но даже для них при больших значениях пропускных способностей он
может работать очень долго. Если пропускные способности вещественны, алгоритм
может работать бесконечно долго, не сходясь к оптимальному решению.

Если искать
не любой путь, а кратчайший, получится алгоритм Эдмондса — Карпа или алгоритм
Диница. Эти алгоритмы сходятся для любых вещественных весов за время

соответственно.

Заключение

Поскольку потоки в
сетях имеют вид и представляются в виде линейных программ, получается, что
возможно их решение как линейных программ. Так же важно отметить, что для сетей
с целочисленными пропускными способностями гарантировано наличие целочисленного
решения. Первый алгоритм решения потоковых задач для сетей малого размера основан
именно на доказательстве этого факта (в 1955 г.). Тем не менее структура
потоковых задач приводит к более эффективным решениям, чем простое решение
линейной программы, как в теории, так и на практике.

До середины 90-х годов
20 века одной из основных задач для исследователей в сфере информатики и
исследования операция стало повышение эффективности алгоритмов для потоков в
сетях. Решенной эту задачу можно считать в 1997 году, с появлением алгоритма
Рао — Гольдберга. С того момента направление основных усилий сместилось на
изучение динамических потоков – обобщения обычных («статических») потоков,
учитывающего время.

Исследования в теории
потоков были прежде всего мотивированы военными нуждами — благодаря связи между
максимальными потоками и минимальными разрезами. Решение задачи о минимальном
разрезе позволяло построить эффективный план бомбардировок системы
транспортного сообщения противника. Кроме того, важной с практической точки
зрения было решение задач об эвакуации, на случай бомбардировок или
чрезвычайных происшествий.

«Мирным» применением
теории потоков являются всевозможные задачи, связанные с транспортировкой
грузов. В более простой модели ответ на этот вопрос дает задача о назначениях –
обобщение задачи о максимальном паросочетании. Более сложные модели опираются
на теорию динамических потоков, и здесь есть еще много задач для дальнейших
исследований.

Список литературы

1.
Бочкарев И.И.  Методический
подход к оценке приоритетности заказа на материалы, при реализации сложных,
наукоемких и высокотехнологичных проектов и программ //
Московский экономический журнал. 2018. №4. С. 25.

2.
Военная логистика: история, методология, современное состояние и перспективы
развития: кол. монография / под ред. А. Х. Курбанова. СПб.: Копи-Р Групп, 2014.

3. Глазьев С.Ю. Ошибки,
которые хуже, чем преступление // Эксперт. 2014. № 44.

4. Иванов И.Н.
Организация производства на промышленных предприятиях. – М.: Инфра-М, 2010. –
352с.

5. Клочков В.В.,
Селезнёва И.Е. Стратегические и прогнозные исследования и разработки:
проблемы методологии и организации // Национальные интересы: приоритеты и
безопасность, 2017, том 13, №3,

6. Корунов С.С.
Организационно-экономические подходы и инструменты развития инновационных
процессов в ракетно-космической промышленности. – М: Доброе слово, 2015. –
192с.

7. Курбанов А.
Х., Плотников В. А. Государственно-частное партнерство и аутсорсинг:
сравнительный анализ структуры и характера отношений // В мире научных
открытий. 2013.№ 4(40).

8. Ларин С.Н. Научно-технические
программы: подходы к организации мониторинга и оценке эффективности //
Национальные интересы: приоритеты и безопасность, 2015, №8

9. Логистика в
России: новые пути раскрытия потенциала. М.: The Boston Consulting Group (Moscow) Limited, 2014.
8.
Материально-техническое обеспечение в цифрах / под ред. Д. В. Булгакова. М.,
2014.

10. Палангин Ю.И.
Логистика – планирование и управление материальными потоками: учеб. пособие. –
СПб.: Политехника, 2009. – 286с.

11. Бодряков Р.Е.
АВС-анализ для повышения эффективности работы склада — [Электронный ресурс] –
Режим доступа: https://sibac.info/studconf/econom/iv/29409

12. Konovalov V.B., Tikhonov A.I., Fursov V.A., Sogacheva O.V., Pyanova N.V. Marketing planning in industrial
enterprises in the context of import substitution strategy // International Journal of Applied Business and
Economic Research. 2017. Т. 15. № 12. С. 171-182.

13. Kulikova N.N., Smolentsev V.M., Tikhonov A.I., Kireev V.S., Dikareva
V.A.  Planning of technological development
of new products and its impact on the economic performance of the enterprise // International Journal of Economics and Financial
Issues. 2016. Т. 6. № 8Special Issue. С. 213-219.

14. Ильяхинская Г.В. Использование
форсайт-исследований для построения дорожных карт в целях повышения
конкурентоспособности отечественных высокотехнологичных отраслей //
Московский экономический журнал. 2018. №5. С. 21.